人教版专题33第6章四边形之与正方形有关的其他题型备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

33第6章四边形之与正方形有关的其他题型
一、单选题
1．如图，四边形是正方形，是的中点，连接与对角线相交于点，连接并延长，交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②；证明△DCE≌△CBF可得结论③，证明△CHF∽△CBF即可得结论④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE=BF，
∵CE=
BC=AB，
∴BF=AB，
∴AF=BF，故③正确，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC
∴∠BCF+∠DECC=90°，
∴∠CHE=90°
∴∠CHE=∠FBC
又∠DEC=∠BFC
∴△CHF∽△CBF
∴
∵BC=2CE，
∴
∴
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
2．如图，正方期ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且为F，则EF的长为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．
【详解】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，
∵EF⊥AB，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG=EF，∠EGF=45°，
由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，
∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，
∴∠BAE=∠AEG=22.5°，
∴AG=EG，
在正方形ABCD中，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF，
设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，
∴4=x+x+x，
解得x=
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDB＝45°；④S△BEF＝ ．在以上4个结论中，正确的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
试题解析：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE==，④正确．
故选C．
考点：正方形综合题.
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，