人教版专题35第7章圆之与直径有关的辅助线备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

35第7章圆之与直径有关的辅助线
一、单选题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若，则tan∠B的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图（见解析），连接OC，过O作于E，过D作于F，先根据垂径定理得到，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得DF、EF的长，从而可得BF的长，最后根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】
如图，连接OC，过O作于E，过D作于F
∵
∴设，则
∴
∵AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点
∴
在和中，
，即
解得或（不符题意，舍去）
∵
∴
∴
，即
解得
则在中，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．
二、填空题
2．如图，CD 为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为______．
【答案】
【分析】
连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．
【详解】
如图，连接OB，
∵OC＝OB，∠BCD＝22.5°，
∴∠EOB＝45°，
∵AB⊥CD，CD是直径，AB=2，
∴EB＝AB＝1，
∴OE＝EB＝1，
∴OB＝=，
故答案为：
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理及三角形外角性质，垂直弦的直径平分弦，并且平分弦这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键．
3．如图，已知是的直径， 是的弦，过点作的切线，与的延长线交于点作交直线于点．若则______________．
【答案】
【分析】
连接BC，求得BC=5，证明△ABC∽△EAB，根据相似性质即可求出BE.
【详解】
解：如图，连接．
在中，根据勾股定理，得
是直径，
．
是的切线，
即
，
故答案为：
【点睛】
（1）见直径，想半径或想圆周角为直角；
（2）见切线想做过切点的直径，构造直角；
（3）求线段的长度在几何图形中一般选择勾股定理、相似、或三角函数来求解.
4．如图所示，中，，，，分别在射线，上移动，且，则点到点的距离的最大值为__.
【答案】.
【解析】
【分析】
过，，三点作，作直径连结，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等得出，从而确定的直径即可
【详解】
如图所示，过，，三点作，作直径连结，
∵，
∴，
∵
在中，，∴
在，弦的最大值等于直径
∴到点的距离的最大值为
【点睛】
本题考查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键
5．用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长比宽多a m，则正方形面积与长方形面积的差为______.（用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】
设出长方形的长和正方形的长,设出铁丝的长度,用l表示面积做差即可得出.
【详解】
设长方形的长为x，结合题意可知宽为x-a，
设铁丝的长度为l，建立方程
,
解得,
则长方形的面积为
而正方形的面积为,
所以面积差为
故答案为a2
【点睛】
本题考查了长方形面积计算公式，正方形面积计算公式，运用多项式做差是解题的关键.
6．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
【答案】.
【分析】
A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【详解】
连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
【点睛】
正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
7．如图，已知中，，，以为直径作，交于点，在上取点使，交于点，已知，则__________．
【答案】
【分析】