人教版专题1 一线三等角类型问题的探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题1 一线三等角类型问题的探究
题型剖析
如图∠1=∠2=∠3，且它们的顶点在直线AB上，这就是一个一线三等角模型。
模型分析：
因为∠1=∠2=∠3，
所以：
∠ACE+∠AEC=∠CFB+∠BFC=∠ACE+∠BCF
易得：∠ACE=∠CFB，∠AEC=∠FCB
进而有△AEC∽△BCF（这是相似三角形一个重要的判定，我们将在初三学****如果再添加一组对应边相等，如CE=CF，或者是AE=BC，
那么就有△AEC≌△BCF.
1.题目中只要满足“一线三等角”的条件，必相似；
2.题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等。
一线三等角类型图例剖析
如图1-1-1，∠ACB=∠D=∠E=90°，且∠CAB=45°△ACD≌△CBE，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等，适用于直角情况;
如图1-1-2，∠ACB=∠D=∠E=90°△ACD∽△CBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似，适用于直角;
如图1-1-2，∠ACB=∠D=∠E=90°△ACD∽△CBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似，适用于直角;
4.如图1-1-4，∠ACB=∠D=∠E=°△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”适用于任何三角形.
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4
一线三等角构造路线
方式(一)：构造“一线三等角”
1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1；

图1-2-1
2.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2；

图1-2-2
3.tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；
图1-2-3

典例赏析
类型一：一线三等角下的证明
例1.（1）问题：
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
【分析】（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．
类型二：一线三等角下的函数问题
2.已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与
BC相交于点C．设线段AP的长为x．
（1）当AP=AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．
【分析】（1）求线段PC的长，根据已知条件过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．AP=AD，PD⊥CD知道，可以先证明△APD∽△CDE，由比例关系式得出；
（2）要求y与x之间的函数关系式，以及函数的定义域：根据实际情况证明△APD∽△CDE，根据相似三角形的性质求出比例式，进而得出y与x之间的函数关系式．
专题训练
1.如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，5），若在该图象上有一点P，使得∠AOP＝4