人教版专题14 隐圆—动点到定点之定长的轨迹类问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题十四：隐圆——动点到定点之定长的轨迹类问题探究
专题导例
如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（　　）
A．（8﹣π）cm2 B．4cm2 C．（3+π）cm2 D．8cm2
方法剖析
在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆，如图所示，从依据此定义，我们来解决一类定点+定长的动态类问题．
应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长．
方法：见动点遇定点→知定长→转到圆→定圆心→现“圆”形
导例解析：连接BP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BP＝EF，然后判断出点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，列式计算即可得解．
导例答案
解：如图，∵P是EF的中点，
∴BP＝EF＝×2＝1（cm），
∵AB＝2，
∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：
又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，
∴4×2﹣π•12＝8﹣π（cm2）．
故选：A．
典例剖析
类型一：隐圆之动点定长最短距离问题
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
分析：△CEF沿直线EF翻折时，点F为定点，∵CF=PF，∴PF为定线，即动点P到定点F的距离始终不变，即点P在以F为圆心，PF长为半径的圆上运动．如此一来本题就转化为圆上一点到直线的最短距离问题。
类型二：隐圆之动点定长路径轨迹问题
例2．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为　 　．
【分析】根据OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，再由走过的角度代入弧长公式即可．
专题突破
1．如图，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为　 　．
2．如图，已知⊙C的半径为2，圆外一点O满足OC＝3.5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE：ED＝1：2．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为　 　．
4．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　 　．
5. （2019年十堰市）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　　．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是　 　．
7．如图，是一块含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为O），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；
（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是　　．
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是　　；
③设旋转x秒后，E点出的