人教版专题29第5章相似三角形之三等角的相似备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

29第5章相似三角形之三等角的相似
一、单选题
1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【解答】如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
∴△CBE≌△ACF（ASA）
∴CF＝BE，CE＝AF，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，
在Rt△ACF中，
∵AF＝4，CF＝3，
∴AC＝5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
，
，
，
在Rt△BCD中，
∵，BC＝5，
所以．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
2．如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（　　）
A．16 B．8 C．8 D．16
【答案】D
【解析】先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形EDFG为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
∴，即 ，
∴DF＝，
∴矩形EDFG的面积为：DE•DF＝DE•＝16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步．
3．如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
∵，
∴△BCE∽△ABO，
∴，
∵
∴AB=，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=4，
∵，
∴CE=2，BE=2
∴OE=4+2
∴C（4+2，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（   ）
A．    B．4      C．3      D．2
【答案】C
【解析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得，即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8
∴∠BAG+∠DAE=90°
∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，
∴BF垂直平分AG
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠DAE=∠ABF，
∴△ABF∽△DAE
∴即
解之：AF=3．
故答案为：C．
【点评】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
5．如图，为的边上