人教版专题8 直角三角形的存在性问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题八：直角三角形的存在性问题探究
专题导例
如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、BA向点A的方向运动，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN可得△FMN，设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒（0≤x≤4）．求x为何值，△FMN为直角三角形。[来源:学科网]
【分析】：（1）定方向：△FMN已知，需要强化为直角三角形。
（2）定分类：∠MNF=90°；∠FMN=90°；∠MFN=90°三种情况。（几何法需要分类情况，代数法可以盲解）

（3）定解法：可以利用“三直角结构”构造相似，用几何法求解。也△FMN三边可以用勾股定理表示，可以用代数法表示；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（4）定结果：x 值汇总。
方法讲解
直角三角形存在性问题分析思路
（1）定方向：（1）构造类：无三角形构造成为直角三角形；（2）强化类：有三角形强化为直角三角形。
（2）定分类：（1）构造类以三个顶点为直角顶点分别构造；（2）强化类三个内角分别为90°分类。
（3）定解法：代数法求解（勾股定理在建立方程时才用）；几何法求解（难在找寻相似三角形）
（4）定结果：将结果汇总。
模型分析
（1）“两线一圆”模型
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为直角三角形.
（1）∠CAB=90°时，过点A作AB的垂线，此直线上所有的点均满足条件；
（2）∠CBA=90°时，过点B作AB的垂线，此直线上所有的点均满足条件；
（3）∠ACB=90°时，以AB为直径作圆，此圆上所有的点均满足条件.
“两线一圆”上所有的点C均满足△ABC为直角三角形，即满足“直角”条件的点C有无数个. 因此，题目会对点C再加上另外一个限定条件——例如还限定点C在坐标轴上或抛物线上，这样，点C的个数就只有几个.
典例剖析
类型一：“两线一圆”类问题
例1：已知点A(2,1),B(6,4)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的坐标.
分析：∠BAC=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为E，过点B作直线AE的垂线，垂足为F 由题可得：∆AEC1~∆BFA；∠ABC=90°时，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点A作直线BM的垂线，垂足为
N；∠ACB=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为P，过点B作x轴的垂线，垂足为Q由题可得： ∆APC3~∆C3QB，可得：APC3Q=PC3BQ，由题可得：∆ANB~∆BMC2，则ANBM=BNMC2。
类型二：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题
例2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
第2题图
【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c的方程组，解方程组可得答案；
（2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案．
类型三：构造相似来解决直角三角形存在性问题
例2：如图，直线与抛物线交于点A（0，1），B（4，3）两点。与轴交于点D。
⑴求直线和抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
【分析】：定方向：构造型直角三角形；
定分类：分别以顶点A、顶点B、顶点P构造直角三角形。
定解法：无角相似，几何求解；罗列三边长，代数求解。
专题突破
1.如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
2.：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
3.如图①，抛物线y＝－1