人教版2020年中考数学专题复习：圆中三大切线定理.doc

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圆中三大切线定理

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题型一：切线的性质定理
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题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。
典题精练
如图，在△ABC中，，以AC为直径的⊙0与BC边
交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，若
DE⊥AB．求证：．
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连接、，由切线的性质定理可得，
又∵DE⊥AB，
∴
则为的中位线，
为中点，
又∵，
则为的垂直平分线，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
题型二：切线的判定定理
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判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。
典题精练
如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC
于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F，
连结CF并延长交BA的延长线于点P.
⑴ 求证：PC是⊙O的切线.
⑵ 若AB=4，，求CF的长.
【解析】⑴ 证明：连结OC ．
∵ OE⊥AC，∴ AE=CE ．
 ∴ FA=FC．∴ ∠FAC=∠FCA．
∵ OA=OC，∴ ∠OAC=∠OCA．
 ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA．
 即∠FAO=∠FCO ．
 ∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
 ∴ FA⊥AB．∴ ∠FCO=∠FAO=90°．
 ∴ PC是⊙O的切线．
⑵ ∵∠PCO=90°，即∠ACO +∠ACP =90°.
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又∵∠BCO+∠ACO =90°，∴ ∠ACP=∠BCO.
∵ BO=CO，∴ ∠BCO=∠B，∴ ∠ACP=∠B.
∵ ∠P公共角，∴ △PCA∽△PBC .
∴.
∵，∴.
∵ ∠AEO=∠ACB=90°，∴ OF∥BC.
∴.∴.∴.
∵ AB=4，∴ AO=2 .∴ AF=1 .∴ CF=1 .
如图，已知中，，平分，以为圆心、长为半径作，与的另一个交点为．
⑴ 求证：与相切；
⑵ 若，求的长．

⑴ 证明：过点作于．
∵平分，，，
∴．
∵是的半径，∴与相切．
⑵ 解：设的半径为．
在中，，，
∴．
由⑴可知切于，切于，∴，
∴．
又，
∴在中，，
∴，即，解得．
∴．
另：该问还可以用求得的长．
还可以用面积的求法，.
已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结．
⑴ 求证：与相切；
⑵ 连结并延长交于点，，
求的长．
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【解析】⑴ 证明：连结.
与⊙相切，为切点.

直线是线段的垂直平分线.

是⊙的直径.
与⊙相切.
⑵ 解：过点作于点，则∥.
在中，

由勾股定理得
在中，同理得

是的中点，

∥，

题型三 切线长定理
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切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
例题精讲
【引例】已知：如图，分别与相切于两点．求证：⑴ ；
⑵ ；⑶ 垂直平分线段．
连