人教版专题2 相似三角形的存在性问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题二：相似三角形的存在性问题探究
知识梳理
一、相似三角形的判定
两个角对应相等（简记“AA”）；
两边对应成比例，及其夹角相等（简记“SAS”）；
三条对应边成比例。（简记“SSS”）。
二、相似三角形判定的基本模型图例剖析
（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行） （不平行）
（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行） （不平行）
（三）母子型


（四）一线三等角型：
三、相似三角形动点问题解题步骤
化动为静
未知数表示线段长度
确定未知数取值范围
找相等角
分类讨论，写相似关系
写比例式
求解，检验
四、模型应用：
专题导例： 如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．3秒或4．8秒 B．3秒 C．4．5秒 D．4．5秒或4．8秒
分析：设运动的时间为x秒，则AD=xcm，AE=（12－2x）cm，根据△ADE和△ABC相似可得：ADAB=AEAC或ADAC=AEAB，则x6=12−2x12或x12=12−2x6，解得：x=3或x=4．8
解题方法： 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论.
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解.
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典例精讲
类型一：已知两定点来建构三角形与已知三角形相似
例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（B在C的左边），直线AD∥x轴交抛物线于点D，x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、AD分别交于P、Q．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点B、C的坐标；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点A（0，3）代入y＝mx2﹣8mx+4m+2，求出m即可，令y＝0，得到x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或6，可得B（2，0）、C（6，0）；
（2）分两种情形①当0＜t＜6时，②当6＜t≤8时，分别求解即可解决问题；
（3）分两种情况讨论：①当2＜t＜8时，AQ＝t，PQ＝若△AOB∽△AQP，若△AOB∽△PQA，分别列出方程求解；
②当t＞8时，AQ＝t，PQ＝若△AOB∽△AQP，若△AOB∽△PQA，分别列出方程求解即可；
类型二：动点产生的三角形相似问题
例2.如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
分析：（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为：AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=，
在△APQ中，分三