人教版专题4 抛物线上的线段长问题的转化与探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题四 抛物线上的线段长问题的转化与探究
知识点：平面直角标中相应线段长的计算
AM= , BM= ,AB= ,
答案：y1-y2，x1-x2,(x1-x2)2+(y1-y2)2.
典例
类型一： 可转化为线段长类的面积型问题
例1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组y=x2-2x-3，y=-3x+3．
求解即可得出点Q的坐标．[来源:学科网ZXXK]
类型二：平行于y轴的线段长的问题
例2．如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，则AB＝＝（a﹣1）2＝16，即可求解；
（2）设点E（m，m2+2m﹣3），点F（﹣3﹣m，m2+4m），四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN，即可求解；
（3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可．
变式训练
1．如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．
2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(−4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的最大值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，﹣2），顶点为M．
（1）求b的值及直线AC的解析式；
（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线y＝﹣x+m与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP．
①当m为何值时，MP⊥PD？
②DE+DP的最大值是多少（直接写出结果）：
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出点D的