人教版专题08：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

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专题08：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线
一、单选题
1．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　）
A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16
2．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．3<AD<13 B．1.5<AD<6.5 C．2.5<AD<7.5 D．10<AD<16
5．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．① C．② D．①②
二、填空题
6．如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________
7．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．
8．如图，为AD上的中点，则BE＝______．
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9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____．
10．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝_____.
三、解答题
11．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．
12．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
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（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
13．阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
14．如图1，在中，，，，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转，使得边与线段交于点，边与线段交于点.
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（1）求证：与相似；
（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）探究、、三者之间的数量关系，并说明理由.
15．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．
（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】
如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝5，
∴AE＝5＋5＝10，
∵10＋6＝16，10−6＝4，
∴4＜CE＜16，
即4＜AB＜16．
故选：C．
【点评】
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本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NA