人教版专题15 利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题十五：利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值
专题导例
如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（　　）
B． C．3 D．5
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP＝3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
方法剖析
【模型讲解】
圆的定义为平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．在一些题目中，我们可以通过分析条件得到相应动点轨迹是个圆（弧），也有相应的题目把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，利用圆与点的位置关系，有助于我们解决定一类定值问题。
若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，如下图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短

解析：在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，则0Q+QP>OP OP=0Q+QP，且OQ=0Q 0Q+QP>0Q+QP QP>QP
所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.
【类型变式】

点P在圆外，PQ最长 点P在圆内，PQ最长 点P在圆内，PQ最短
导例答案 解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP＝90°，
∴PQ2＝OP2﹣OQ2，
而OQ＝2，
∴PQ2＝OP2﹣4，即PQ＝，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为＝．
故选：B．
典例剖析
类型一：利用圆的定义来作辅助圆定位置关系来求最值
例1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度最小值是 。
【分析1】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧。
【分析2】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
类型二：利用已知点的轨迹为圆考查位置关系来求最值
例2.如图，已知⊙C的半径为2，圆外一点O满足OC＝3.5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB＝2OP，计算得到答案．
专题突破
1.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值为（　　）
2．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝4，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．7
3.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4.如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
5.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点M在⊙0上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是__________________.
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为　 　．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
8.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长