人教版2020中考数学 难点突破：动点问题专题训练（含答案）.docx

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2020中考数学
动点问题专题训练
例题1. 抛物线与轴相交于、两点（点在的左侧），与轴相交于点，顶点为.
⑴ 直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
⑵ 连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
① 用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
② 设的面积为，求与的函数关系式．
【答案】⑴，，．
抛物线的对称轴是：．
⑵①设直线的函数关系式为：．
把分别代入得：
解得：．
所以直线的函数关系式为：．
当时，，∴．
当时，，
∴．
在中，当时，．
∴
当时，∴．
∴线段，线段．
∵
∴当时，四边形为平行四边形．
由解得：．（不合题意，舍去）．
因此，当时，四边形为平行四边形．
②设直线与轴交于点，由，，可得：．
∵．
即．
∴．
例题2. 如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．

【答案】（1）∵抛物线经过点，
∴∴
∴二次函数的解析式为：
（2）∵为抛物线的顶点∴过作于，
则，，∴∴
∵
当时，四边形是平行四边形
∴∴
当时，四边形是直角梯形
过作于，则
（如果没求出可由求）
∴，
当时，四边形是等腰梯形
∴∴
综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
（3）由（2）及已知，是等边三角形
则，∴
过作于，则
∴=
当时，的面积最小值为
∴此时∴
∴
例题3. 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．
图1
【答案】
（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．
在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．
（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．
由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．
在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．
所以，．
在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．
整理，得．定义域为x＞0．
图2 图3
（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．
因此．所以．
解方程，得．此时⊙P的半径为．
②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．
如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．
所以．因此．
解方程，得．此时⊙P的半径为．
图4 图5 图6
例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．
①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
【答案】
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．
（2）①如图2，∠BDE＝∠C