人教第4章 三角函数、解三角形 第4节　三角函数的图象与性质.doc

第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T，其中T为周期.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
2.函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
3.下列函数中，是奇函数的是(　　)
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
答案　C
解析　选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；
因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4.(易错题)函数y＝cos2x＋sin x的值域为(　　)
A.[－1，1] B.
C. D.[0，1]
答案　C
解析　y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋，
∴当sin x＝时，ymax＝.
当sin x＝－1时，ymin＝－1.
5.函数f(x)＝cos的最小正周期是________.
答案　π
6.(易错题)函数y＝tan的图象的对称中心是________.
答案　，k∈Z
解析　由x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，∴对称中心是，k∈Z.
考点一　三角函数的定义域和值域
1.函数y＝的定义域为______.
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以原函数的定义域为.
2.函数f(x)＝sin－cos的最大值为________.
答案　
解析　f(x)＝sin－cos
＝sin＝sin
＝－cos x，
所以当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)max＝.
3.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.
答案　－4
解析　因为f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，
所以g(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数g(t)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，所以当t＝1时，g(t)有最小值－4.