人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 微重点6　几何特征在解三角形中的应用.docx

微重点6　几何特征在解三角形中的应用
解三角形在平面几何中的应用，是高考的重点，主要考查正、余弦定理、平面几何的几何特征、性质(中线、角平分线等)，选择、填空、解答题都可以出现，难度中等．
考点一　三角形的中线及应用
例1　(2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＝2bcos2.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
解　(1)依题意有
asin B＝2bcos2＝(1－cos A)b，
所以sin Asin B＝(1－cos A)sin B，
因为在△ABC中sin B≠0，
所以sin A＝1－cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，
解得sin A＝，cos A＝－，所以A＝.
(2)由||＝＝2，
得|＋|＝4，
所以||2＋||2＋2||||cos 
＝||2＋||2－||||
＝16≥||||，
所以(||||)max＝16，
当且仅当||＝||＝4时，等号成立．
所以△ABC面积的最大值为S＝||·||·sin∠BAC＝4.
规律方法　解三角形问题涉及到中点问题时，可采用向量法使问题简化．在△ABC中，若D
为边BC 上的中点，则＝(＋，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．
跟踪演练1　(2022·德州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c2＝ab，点D是边AB的中点，CDsin∠ACB＝asin B.
(1)证明：CD＝c；
(2)求cos∠ACB的值．
(1)证明　由题意得，CD＝，
由正弦定理得＝，
即＝，
所以CD＝，
由于c2＝ab，所以CD＝c.
(2)解　由题意知CD＝c，AD＝，DB＝，
所以cos∠ADC＝＝，
同理cos∠BDC＝＝，
由于∠ADC＝π－∠BDC，
所以＋＝0，
整理得a2＋b2＝c2，
由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝.
考点二　三角形的角平分线及应用
例2　(2022·保定模拟)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线与BC相交于点D.
(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；
(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值．
解　(1)因为AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，
在△ABC中，由余弦定理可得
BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos∠BAC＝7，
故BC＝，
由角平分线定理知＝，
又＝，
所以＝，又BD＋CD＝，
所以CD＝.
(2)由题意得，△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和，
又AB＝c，AC＝b，所以
××bc＝××b×1＋××c×1，
整理得bc＝b＋c.
则b＋c＝bc≤2，
即≥b＋c，解得b＋c≥4，
当且仅当b＝c＝2时等号成立，
即AB＋AC的最小值为4.
规律方法　角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
跟踪演练2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos∠BAC，∠BAC的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，则以下结论正确的是________．(填序号)
①AC＝；②AB＝8；③＝；④△ABD的面积为.
答案　①③④
解析　因为b＝ccos∠BAC，
由正弦定理可得sin B＝sin Ccos∠BAC
＝sin(∠BAC＋C)，
所以sin∠BACcos C＝0，因为sin∠BAC≠0，
所以cos C＝0，即C＝.
因为cos∠BAC＝＝，
由角平分线定理可得＝＝，故③正确；
设AC＝x，则AB＝8x，
则BC＝3x，CD＝x.
在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋2＝1，
解得x＝(负值舍去)，即AC＝，AB＝6，故①正确，②错误；
由cos∠BAC＝，得sin∠BAC＝，
因为S△ABC＝××6×＝，
所以S△ABD＝S△ABC＝，故④正确．
考点三　四边形问题
例3　(2022·日照模拟)在①S△ABC＝2，②∠ADC＝这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求AC的长．
(注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分)
解　选择①：
由S△ABC＝·AB·BC·sin∠ABC
＝×2·BC·sin ＝2，
得BC＝2.
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝4＋8－2×2×2×＝20，
所以AC＝＝2.
选择②：