人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 第2讲　圆锥曲线的方程与性质.docx

第2讲　圆锥曲线的方程与性质
[考情分析]　高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
考点一　圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1　(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋，则该椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.
又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.
又因为|F2B|＝|BF1|，
所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，
因为|AP|＝2＋，
所以|F1A|＝(2＋)，
得a＋c＝(2＋)，
又b＝c，所以a＝c，
解得a＝2，c＝2，
得b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.
答案　4
解析　延长F2M交PF1于点Q，
由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，
所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
即|QF1|＝2a，
由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，
所以|MO|＝|QF1|＝a＝4.
易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1　(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案　D
解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为(　　)
A．5 B．5
C．10 D．10
答案　C
解析　设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.
因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.
考点二　椭圆、双曲线的几何性质
核心提炼
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
考向1　椭圆、双曲线的几何性质
例2　(2022·河南五市联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F
2为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案　B
解析　由题意知，渐近线方程为y＝±x，
焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，
因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，
即r＝＝b，
又该圆过线段OF2的中点，故＝r＝b，
所以＝＝＝.
所以渐近线方程为y＝±x.