人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 培优点9　圆锥曲线与圆的综合问题.docx

培优点9　圆锥曲线与圆的综合问题
随着新高考不断地推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生很大的变化，对圆的考查在逐渐加深，与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线及抛物线相结合，呈现别具一格的新颖试题，题型渐渐成为高考命题的热点，是一种新的命题趋势．
考点一　圆的切线与圆锥曲线的综合问题
例1　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于A，B两点，问△AF2B的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
解　(1)由题意得
∴
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)是定值．由题意，
设AB的方程为y＝kx＋m(k<0，m>0)，
∵AB与圆x2＋y2＝3相切，
∴＝，即m2＝3(1＋k2)，
由
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
又|AF2|2＝(x1－1)2＋y
＝(x1－1)2＋3
＝(x1－4)2，
∴|AF2|＝(4－x1)＝2－x1，
同理|BF2|＝(4－x2)＝2－x2，
∴|AF2|＋|BF2|＝4－(x1＋x2)
＝4＋
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋－＝4(定值)．
规律方法　处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．
跟踪演练1　在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点，△FOD外接圆的圆心为Q，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P(x0，y0)(x0>1)为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆x2＋(y－1)2＝1的两条切线l1，l2且与y轴分别相交于A，B两点，求△PAB面积的最小值．
解　(1)由抛物线C方程x2＝2py，
已知F，准线y＝－，
外接圆的圆心在直线y＝上，
依题意＝，即p＝1，
抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)设过点P(x0，y0)的直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，
直线kx－y＋y0－kx0＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相切，则＝1，
化简得(x－1)k2－2(y0－1)x0·k＋y－2y0＝0，①
方程的根为k1，k2，
则有
设直线l1，l2在y轴上的截距分别为y1，y2，
则y1＝y0－k1x0，y2＝y0－k2x0，
|AB|＝|y1－y2|＝|k1－k2|·x0
＝x0·
＝
＝
＝，
S＝|AB|·x0＝·
＝·
＝
≥×(2＋2)＝2.
当且仅当x－1＝，即x0＝时，S△PAB面积取得最小值，面积最小值为2.
考点二　圆锥曲线中的四点共圆综合问题
例2　(2022·重庆模拟)设动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为的直线l