人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 微重点5　三角函数中ω，φ的范围问题.docx

微重点5　三角函数中ω，φ的范围问题
三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．
考点一　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
例1　(1)若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为ω>0，所以当x∈时，
ωx－∈.
又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在
上的值域是，
所以≤－≤，
解得≤ω≤3.
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(a>0，ω>0)的最大值为2，若使函数f(x)在区间[0,3]上至少取得两次最大值，则ω的取值范围是________．
答案　
解析　f(x)＝sin ωx＋acos ωx
＝sin(ωx＋φ)，
因为f(x)max＝＝2，a>0，
故a＝，
原式为f(x)＝2sin，
当f(x)取到最大值时，ωx＋＝＋2kπ，k∈Z，
当x∈[0,3]，f(x)取得两次最大值时，k分别为0和1，当k＝1时，ωx＋＝＋2π，x＝，
此时需满足≤3，
解得ω≥.
规律方法　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．
跟踪演练1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈，不等式f(x)>恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
当x∈时，＋φ<2x＋φ<＋φ.
因为－<φ<，
所以－<＋φ<，<＋φ<.
又因为不等式f(x)>对任意的x∈恒成立，
所以
解得≤φ≤.
因此φ的取值范围是.
考点二　单调性与ω，φ的取值范围
例2　(1)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递减，则ω的最大值为____________．
答案　10
解析　f(x)＝sin，
当x∈且ω>0时，
＋<ωx＋<＋，
因为f(x)在区间上单调递减，
所以⊆(k∈Z)，
即
解得4＋32k≤ω≤10＋16k(k∈Z)，
因为ω>0，从而4≤ω≤10，
因此，ω的最大值为10.
(2)(2022·柳州模拟)若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不单调，则ω的最小值为(　　)
A．9 B．7 C．11 D．3
答案　C
解析　因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，
由－≤ωx－≤得－≤x≤，则函数y＝sin在上单调递增，
而函数y＝sin在区间上不单调，则<，解得ω>9，
所以ω的最小值为11.
规律方法　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．
跟踪演练2　已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由x∈，可得2x－φ∈，
又由0<φ<，且f(x)在上单调递增，
可得－φ≤，所以≤φ＜.
当x∈时，2x－φ∈，
由f(x)在上有最小值，可得－φ>，
所以φ<.
综上，≤φ<.
考点三　零点与ω，φ的取值范围
例3　(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为.
(2)(2022·龙岩质检)已知函数f(x)＝2sin＋b(ω>0)，若f(x)关于点(a，1)对称，且f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点，则f 的取值范围是(　　)
A. B．[－1，)
C．[－1，＋1) D．[0，＋1)
答案　C
解析　因为f(x)关于点(a，1)对称，所以b＝1.
所以f(x)＝2sin＋1(ω>0)，
令f(x)＝0，则2sin＋1＝0，
即sin＝－，
因为x∈[0,1]，
所以ωx－∈，
因为f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点