人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题3 第2讲　数列求和及其综合应用.docx

第2讲　数列求和及其综合应用
[考情分析]　1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
考点一　数列求和
核心提炼
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
考向1　分组转化法
例1　(2022·德州联考)已知数列{2an}是公比为4的等比数列，且满足a2，a4，a7成等比数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，若cn＝求数列{cn}的前2n－1项和．
解　因为数列是公比为4的等比数列，
所以＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以a＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)，
解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，
因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，
所以Sn＋1＝2bn，
当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1，
两式相减得bn＝2bn－2bn－1，
即bn＝2bn－1，
当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1，
所以b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以bn＝2n－1，
因为cn＝k∈N*.
所以数列{cn}的前2n－1项和为
a1＋b2＋a3＋b4＋…＋a2n－1
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n－2)
＝6n＋×4＋
＝2n2＋4n＋(4n－1－1)．
考向2　裂项相消法
例2　(2022·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
(1)解　方法一　因为a1＝1，所以＝1，
又是公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝.
因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
所以＝＝，
所以＝，
整理得＝，
所以··…··＝××…··＝，
所以Sn＝(n≥2)，
又S1＝1也满足上式，
所以Sn＝(n∈N*)，
则Sn－1＝(n≥2)，
所以an＝－
＝(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
所以an＝(n∈N*)．
方法二　因为a1＝1，所以＝1，
又是公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝，
所以Sn＝an.
因为当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
所以an－1＝an，
所以＝，
所以··…··＝×××…··＝，
所以an＝(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
所以an＝(n∈N*)．
(2)证明　因为an＝，
所以＝＝2，
所以＋＋…＋＝2
＝2＝<＝2.
故＋＋…＋<2成立．
考向3　错位相减法
例3　(2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)选①.
设数列{bn}的公比为q(q>0)，由b5－b4＝18b2，得q3－q2＝18，
即(q－3)(q2＋2q＋6)＝0，解得q＝3.
由2an＝an＋1＋an－1(n≥2)知数列{an}为等差数列，
设等差数列{an}的公差为d，由S3＝b3＝9，b4＝a14，
得3a2＝3(a1＋d)＝9，b3＝b1q2＝9,9q＝3＋12d，
所以a1＝b1＝1，d＝2，
故数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－1.
选②.
由2an＝an＋1＋an－1(n≥2)知数列{an}为等差数列，
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)，
由S3＝b3＝9，b4＝a14，S5＝b4－2，
得3a2＝3(a1＋d)＝9，b3＝b1q2＝9,9q＝3＋12d，
5a1＋10d＝9q－2，所以a1＝b1＝1，d＝2，q＝3，
故数列