人教版微专题 参变分离法解决导数问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：参变分离法解决导数问题
【考点梳理】
1.分离变量法
在处理含参的函数不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程，转化为这样就将把研究含参函数与轴的位置关系的问题转化为不含参的函数与动直线的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；②参数分离后的函数过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到的函数极限，造成说理困难.
2.分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
【典例分析】
典例1．已知.
(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(2)若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围.
典例2．已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.
(1)求切线的方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
典例3．已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)证明：．
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典例4．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若不等式对于恒成立，求的取值范围．
【双基达标】
5．已知，曲线在处切线过点．
(1)求的值；
(2)当时，，求的取值范围．
6．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若当时，恒成立，求a的取值范围.
7．已知函数
(1)当时，证明函数有两个极值点；
(2)当时，函数在上单调递减，证明
8．已知函数的一个极值点为.
(1)求函数的极小值；
(2)若函数，当时，，求实数的取值范围.
9．已知函数．
(1)若，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若曲线存在过点的切线，求证：．
10．已知函数.
(1)若，证明：；
(2)设函数，若有两个不同的实数根，且，证明：.
【高分突破】
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11．已知函数，．
(1)若函数是增函数，求实数a的取值范围；
(2)当a＝0时，设函数，证明：恒成立．
12．已知函数（，e为自然对数的底数）.
(1)若在处的切线与直线平行，求的极值；
(2)当时，，求m的取值范围.
13．已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若有且仅有两个不相等实根，求实数的取值范围．
14．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
15．已知函数，．
(1)若函数在区间内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，且，求证：．
16．已知函数，函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．
17．已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．
(1)求实数 的值;
(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数的最小值；
(3)若关于的方程恰有两个相异的实根，求实数的取值范围，并证明.
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19．已知函数.
(1)若，求函数的极小值.
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
20．已知函数
(1)讨论函数零点的个数；
(2)对任意的恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数．
(1)当时，证明：在定义域上是增函数；
(2)记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．（参考数据：，．）
22．已知函数
(1)令，若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时．证明：
23．已知函数
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.
24．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
25．已知函数，为自然对数的底数．
(1)当时，
①求函数在处的切线方程；
②求函数的单调区间；
(2)若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
26．已知函数，．
(1)对任意，使得是函数在区间上的最大值，试求