人教版易错点14 立体几何中的角答案-备战2023年高考数学易错题.docx

易错点14 立体几何中的角
易错点1：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。 
2.求异面直线所成角的步骤： 
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。 
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角q的范围是0°＜θq≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点2：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）求。
2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则
易错点3：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
2.求出平面的法向量，平面的法向量
3.进行向量运算求出法向量的夹角；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：
题组一：异面直线所成的角
1．（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
2.(2018全国卷Ⅱ)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，
补上一相同的长方体，连接，．
易知，则为异面直线与所成角．
因为在长方体中，，，
所以，，
，
在中，由余弦定理，得，
即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
解法二 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
由条件可知，，，，
所以，，
则由向量夹角公式，得，
即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
3．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱中，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为
,
，，
∴．选C．
4.（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【解析】如图连接，取的中点，连接，则．
则异面直线，所成的角为，由题意可知，，
∴．又，，，∴，
则．
题组二：直线与平面所成的角
5. 【2021年浙江卷】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，
.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
6.（2020•北京卷）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则..
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
【解析】（1）分别为，的中点，,又,,
在中，为中点，则,又侧面为矩形，
,,,由，平面,
平面,又，且平面，