人教版专题3-2 解三角形最值范围与图形归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题3-2解三角形最值、范围与图形归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 4
【题型一】最值与范围1：角与对边 4
【题型二】最值与范围2：角与邻边 6
【题型三】范围与最值3：有角无边型 9
【题型四】最值与范围4：边非对称型 11
【题型五】最值：均值型 12
【题型七】图形1：内切圆与外接圆 13
【题型八】图形2：“补角”三角形 17
【题型九】图形3：四边形与多边形 19
【题型十】三大线1：角平分线应用 22
【题型十一】三大线2：中线应用 23
【题型十一】三大线3：高的应用 25
【题型十一】证明题 27
专题训练 28
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即，所以；
（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，
则，所以，故，
所以，所以的周长为.
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
4．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
5．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，
则周长，解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
题型全归纳
【题型一】最值与范围1：角与对边
【讲题型】
例题1.已知的内角所对的边分别为
（1）求；
（2）已知，求三角形周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案.
(2)由余弦定理可得，由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得答案.
解（1）由可得
即，则，
所以
（2），
即，所以，当且仅当时，等号成立，所以
所以三角形周长的取值范围是
例题2.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的