人教版专题5-1 均值不等式及其应用归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题5-1 均值不等式及其应用归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 4
【题型一】公式应用及限制条件 4
【题型二】构造“公式型” 6
【题型三】“1”的代换 7
【题型四】“积”与“和”混合型 8
【题型五】构造分母代换型 10
【题型七】分离常数消去型 11
【题型八】消去型 13
【题型九】多次均值 15
【题型十】多元均值 16
【题型十一】权方和不等式 18
【题型十二】万能“k”法 20
【题型十三】整体换元 21
【题型十四】均值应用：恒成立 22
专项训练 24
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
4．（陕西·高考真题）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
5．（·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
题型全归纳
综述
1．基本不等式：≤；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
2．常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：≥ ≥≥；
【题型一】公式应用及限制条件
【讲题型】
例题1