人教版专题13 数列（解答题）（教师版）.docx

专题13 数列（解答题）
1．【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)−78．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，作差即可得到an−an−1=1，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
(1)
解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n①，
当n≥2时，2Sn−1+n−12=2n−1an−1+n−1②，
①−②得，2Sn+n2−2Sn−1−n−12=2nan+n−2n−1an−1−n−1，
即2an+2n−1=2nan−2n−1an−1+1，
即2n−1an−2n−1an−1=2n−1，所以an−an−1=1，n≥2且n∈N*，
所以an是以1为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，
即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=−12，
所以an=n−13，所以Sn=−12n+nn−12=12n2−252n=12n−2522−6258，
所以，当n=12或n=13时Snmin=−78．
2．【2022年新高考1卷】记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2．
【答案】(1)an=nn+12
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n−1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+2an3−n+1an−13,进而得：anan−1=n+1n−1，利用累乘法求得an=nn+12，检验对于n=1也成立，得到an的通项公式an=nn+12；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+⋯+1an=21−1n+1，进而证得.
(1)
∵a1=1，∴S1=a1=1,∴S1a1=1,
又∵Snan是公差为13的等差数列，
∴Snan=1+13n−1=n+23,∴Sn=n+2an3,
∴当n≥2时，Sn−1=n+1an−13，
∴an=Sn−Sn−1=n+2an3−n+1an−13,
整理得：n−1an=n+1an−1,
即anan−1=n+1n−1,
∴an=a1×a2a1×a3a2×…×an−1an−2×anan−1
=1×32×43×…×nn−2×n+1n−1=nn+12，
显然对于n=1也成立，
∴an的通项公式an=nn+12；
(2)
1an=2nn+1=21n−1n+1,
∴1a1+1a2+⋯+1an =21−12+12−13+⋯1n−1n+1=21−1n+1<2
3．【2022年新高考2卷】已知
an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4．
(1)证明：a1=b1；
(2)求集合kbk=am+a1,1≤m≤500中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)9．
【解析】
【分析】
（1）设数列an的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得m=2k−2，即可解出．
(1)
设数列an的公差为d，所以，a1+d−2b1=a1+2d−4b1a1+d−2b1=8b1−a1+3d，即可解得，b1=a1=d2，所以原命题得证．
(2)
由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a1⇔b1×2k−1=a1+m−1d+a1，即2k−1=2m，亦即m=2k−2∈1,500，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k=2,3,4,⋯,10，故集合k|bk=am+a1,1≤m≤500中的元素个数为10−2+1=9．
4．【2021年甲卷文科】记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【点睛】
在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.
5．【2021年甲卷理科】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件