人教第01讲 极坐标与参数方程（讲）（解析版）.docx

第1讲 极坐标与参数方程
本讲为高考命题热点，分值10分，极坐标与参数方程跟不等式选讲两个里面选择一个，极坐标与参数方程常考察直角坐标方程，参数方程，极坐标方程的互化，角度问题，不等式选讲考察绝对值绝对值不等式与均值不等式证明，需要一定的逻辑推理能力，运算求解.
高频考点一 极坐标系与直角坐标系互化
【例1】1.将直角坐标方程与极坐标方程互化：
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)θ＝(ρ∈R)；
(4)ρcos2 ＝1；
(5)ρ2cos 2θ＝4；
(6)ρ＝.
解　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)当x≠0时，由于tan θ＝，故tan ＝＝，化简得y＝x(x≠0)；
当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x.
(4)因为ρcos2＝1，所以ρ·＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以＋x＝2.化简得y2＝－4(x－1).
(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.
(6)因为ρ＝，所以2ρ－ρcos θ＝1，
因此2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.
【方法技巧】
1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.
【变式训练】
1.(1)若点P的极坐标为，求点P的直角坐标；
(2)求直线θ＝(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标.
解　由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则或
(1)ρ＝3，θ＝－，故x＝ρcos θ＝，y＝－.
从而点P的直角坐标为.
(2)显然是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是.
高频考点二 求曲线的极坐标方程
【例2】(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.