人教第04讲 圆锥曲线的综合问题（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

第04讲 圆锥曲线的综合问题
本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
高频考点一 圆锥曲线的定值定点问题
【例1】[例1]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
[破题思路]
第(1)问
求什么想什么
求抛物线C的方程，想到求p的值
给什么用什么
给出焦点F的坐标，利用焦点坐标与p的关系求p
　　第(2)问
求什么想什么
求证：直线AB过x轴上一定点，想到直线AB的方程
给什么用什么
题目条件中给出“A，B是抛物线C上异于点O的两点”以及“直线OA，OB的斜率之积为－”，可设A，B两点的坐标，也可设直线AB的方程
差什么找什么
要求直线AB的方程，还需要知道直线AB的斜率是否存在，可分类讨论解决
[解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0.所以yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，
整理得xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过定点(8,0)．
【方法技巧】
[题后悟通]
思路受阻分析
不能正确应用条件“直线OA，OB的斜率之积为－”是造成不能解决本题的关键
技法关键点拨
定点问题实质及求解步骤
解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：
【跟踪训练】
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去y，
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，
∴·＝0.
∵·＝