人教第9章 平面解析几何 第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m，圆心为(1，2)，半径r＝(m<3).
若直线l与圆C有公共点，则圆心(1，2)到直线l的距离d＝≤，解得1≤m<3.
因为{m|1≤m≤2}{m|1≤m<3}，
所以“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.
3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l：x－2y＋6＝0与圆C：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，则·＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　D
解析　由圆的一般方程x2＋y2－4y＝0得标准方程为x2＋(y－2)2＝4，故可得圆心C(0，2)，半径r＝2，
联立得
解得或
不妨设A(－2，2)，B，
则＝(－2，0)，＝，
所以·＝－2×＋0×＝－.
4.(2021·洛阳模拟)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a＝________.
答案　±2
解析　两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0，原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝.
∵公共弦长为2，
∴a2＝()2＋，
∴a2＝4，a＝±2.
5.(易错题)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________.
答案　＋1或－1
解析　由题意，定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为A(1，2)，半径R＝1，半径为r的圆的圆心为B(0，1)，
所以|AB|＝＝.
因为两圆相切，
所以|AB|＝|R－r|或|AB|＝|R＋r|，
即|1－r|＝或 |1＋r|＝，
解得r＝1±或r＝－1±.
因为r>0，
所以r＝＋1或r＝－1.
6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，