人教第9章 平面解析几何 第6节　双曲线.docx

第6节　双曲线
考试要求　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在
y轴上的双曲线.
2.(易错题)双曲线－＝1上一点P到焦点F1(－5，0)的距离为7，则点P到焦点F2(5，0)的距离为________.
答案　13
解析　在双曲线－＝1中，a＝3，
由题意得|PF1|＝7，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，
又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案　y＝±x
解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________.
答案　4
解析　双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为
y＝±x，即x±y＝0，
又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，
即x＋y＝0，
对比两式可得，m＝3.
设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，
所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
5.(易错题)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________.
答案　2或
解析　当双曲线的焦点在x轴上时，
＝tan ＝，
即b＝a，c2＝a2＋3a2＝4a2，c＝2a，
此时e＝＝2；
当双曲线的焦点在y轴上时，＝tan ＝，
即b＝a，c2＝a2＋a2＝a2，c＝a，
此时e＝＝.
∴双曲线C的离心率2或.
6.(2020·全国Ⅰ卷改编)设F1，F2是双曲线C：