人教第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节　二项分布与正态分布.docx

第7节　二项分布与正态分布
考试要求　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.
1.条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
4.正态分布
(1)正态分布的定义
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).其中φμ，σ(x)＝e－(σ>0).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__7；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__5；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__3.
1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立.(　　)
(2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.(　　)
(3)n次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为p，“失败”的概率为
1－p；③各次试验是相互独立的.(　　)
(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　对于(1)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立.
2.(易错题)(2022·成都质检)某种灯泡的使用寿命为2 000小时的概率为0.85，超过2 500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2 000小时，那么它能使用超过2 500小时的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　记灯泡的使用寿命为2 000小时为事件A，超过2 500小时为事件B，P(A)＝0.85，P(AB)＝P(B)＝0.35，在灯泡已经使用了2 000小时的条件下它能使用超过2 500小时的概率为P(B|A)＝＝＝.
3.(2022·西安联考)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
答案　D
解析　由正态分布密度曲线可知，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)＝<P(Y≥μ1)，故A错；
由正态分布密度曲线可知，0<σ1<σ2