人教第12章 选考部分 第2节　不等式选讲 第一课时　绝对值不等式.docx

第2节　不等式选讲
第一课时　绝对值不等式
考试要求　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.
1.绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集.
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}


|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法.
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法.
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
1.利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题；若
用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.(　　)
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(　　)
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
解析　(1)中当c＝0时，解集为{x|x≠0}；
(3)中应该是ab≤0且|a|≥|b|时等号成立；
(4)中应该是ab≥0且|a|≥|b|时等号成立.
2.(易错题)设A＝{x||x－2|≥2}，B＝{x||x－1|<a}，若A∩B＝∅，则a的取值范围为(　　)
A.a<1 B.0<a≤1
C.a≤1 D.0<a≤3
答案　C
解析　由|x－2|≥2得x－2≤－2或x－2≥2，解得x≤0或x≥4，
所以A＝(－∞，0]∪[4，＋∞)，
当a≤0时，B＝∅，A∩B＝∅，符合题意.
当a>0时，由|x－1|<a得－a<x－1<a，
解得1－a<x<1＋a，
所以B＝(1－a，1＋a).
由于A∩B＝∅，
所以解得0<a≤1.
综上所述，a的取值范围是a≤1.
3.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)
A.(－∞，4) B.(－∞，1)
C.(1，4) D.(1，5)
答案　A
解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，
③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，得4<2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，4).
4.(易错题)不等式x2－5|x|－6<0的解集是________.
答案　(－6，6)
解析　x2－5|x|－6<0，
即(|x|－6)(|x|＋1)<0，
即|x|－6<0，|x|<6，故x∈(－6，6).
5.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
答案　2
解析　因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.
因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.
6.设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________.
答案　R
解析　∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.
又∵|a－b|>2，
∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，
即该不等式的解集为R.
考点一　绝对值不等式的解法
例1