人教第17节 等比数列及前n项和（解析版）.docx

第17节 等比数列及前n项和
基础知识要夯实
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．
3．等比中项
若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{}，{an·bn}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
Sn＝
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
难点正本　疑点清源
1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列中的函数观点
利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．
3．两个防范
(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
典型例题剖析
考点一等比数列基本量的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C. D.
【答案】C
【解析】由{an}为等比数列，得a3a5＝，又a3a5＝4(a4－1)，所以＝4(a4－1)，解得a4＝2.
设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.
2．(2022·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
【答案】C
【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，由得q＝－.
综上，q的值是1或－，故选C.
3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.
【答案】2n－1
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
∵∴
由①除以②可得＝2，
解得q＝，代入①得a1＝2，
∴an＝2×n－1＝，
Sn＝＝4，
∴＝2n－1.
【方法技巧】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝.
考点二等比数列的判定与证明
【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
[解题技法]
等比数列的判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列