人教考点7-4 范围与最值(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点7-4 范围与最值
1．（2022·全国·高三专题练****已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值.
【详解】如图是圆锥的轴截面，
由题意母线，高，
则，是锐角，
所以，于是得轴截面顶角，
设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，
当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角的定义确定，再根据圆的性质计算得解.
【详解】由题意，设上､下底面半径分别为，其中，
如图，过作垂直下底面于，则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，
而，由圆的性质，，
所以，所以，
故选：C.
3．（2022·湖北·高三阶段练****已知四面体中，，则体积的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设M为CD的中点，连接AM,BM, 设四面体A-BCD的高为h，利用等体积法表示出四面体的体积，利用三个正数的均值不等式即可求得答案.
【详解】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则,
由于，故 ,
则,设，
则,
所以
，
当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且即时取等号，
故选：C
4.（2022·上海市光明中学模拟预测）如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可得出答案.
【详解】设点到平面的距离为，
则，所以，
如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，
故点在四边形的边上，
则当点在点的位置时，最小，为，
当点在点的位置时，最大，为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在棱长为3的正方体中，P为内一点，若
的面积为，则AP的最大值为________．
【答案】##
【分析】先证明平面，由条件确定点的轨迹，由此可求AP的最大值.
【详解】因为，,平面，，
所以，同理可证，又，，
所以平面，
设与平面相交于点O，连接，因为平面，所以
所以，又，
则，即点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
因为，平面，所以，
又为等边三角形，且,
所以，
所以AP的最大值为．
故答案为：.
6.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（文））已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的半径为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算出，再确定当三点共线时，三棱锥的体积最大时体积最大，最大时的高是，而.则根据体积公式即可求出.
【详解】如图，所在圆即为的外接圆.
设圆的半径为，则，解得.
因为为等边三角形，所以.
由正弦定理可得，解得.
所以.
如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得.
在中，，解得.
故选:C.
7．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练****已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A