人教考向14 三角函数的单调性和最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向14 三角函数的单调性和最值
1.【2022年北京卷第5题】已知函数，则
A.在上单调递减 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递增
【答案】C
【解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
2.【2022年乙卷文科第11题】函数在区间的最小值、最大值分别为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选.
3．【2022年新高考2卷第9题】函数的图象以中心对称，则
A．在单调递减；
B．在有2个极值点；
C．直线是一条对称轴；
D．直线是一条切线．
【答案】AD
【解析】由题意得：,所以即：，
又，所以时，,故．
选项A：时，由图象知是单调递减的；
选项B：时，由图象知只有1个极值点，由可解得极值点；
选项C：时，，直线不是对称轴；
选项D：由得：，
解得或，
从而得：或，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
【答案】B
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
2．设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)在上单调递增
【答案】C
【解析】选C.由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增；由x∈得2x－∈，所以f(x)先增后减；由x∈得2x－∈，所以f(x)单调递减；由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增．
3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A．[－，]　　　 B．[0，π] C．[π，] D．[，2π]
【答案】D
【解析】选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
4．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2，则f(x)的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.f(x)＝sin2x＋sin2＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x＝＋＋sin 2x＝1＋＝1＋sin≥1－＝，故选A.
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【答案】B
【解析】选B.因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.
6．已知函数在处取到最大值，则（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．关于点中心对称 D．关