人教考向29空间几何体的外接球和内切球问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向29 空间几何体的外接球和内切球问题
1.（2022年乙卷理9文12）9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是
边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则
所以该四棱锥的高，所以体积
当且仅当，即时，等号成立
所以该四棱锥的高
故选C
2.（2022年新高考1卷）8．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱雉体积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为，底面中心到各顶点的距离为，，则，，
，，
故，
令
，故，，，，
即，
．
3.（2022年新高考2卷）7．正三棱台高为1，上下底边长分别是和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，
下底面所在平面截球所得圆的半径是4，
则轴截面中由几何知识可得，或
解得，因此球的表面积是．故选A.


1.正方体内切球、外接球、棱切球的球心都是正方体的中心， 若正方体棱长为，则这三种球的半径分别为.
2.长方体的外接球的球心是其体的对角线的中点；若长方体的过同一顶点的三条棱长分别为则外接球的半径是；若长方体过同一顶点的三个面的对角线长分别为则外接球的半径是.
3.直三棱柱的外接球球心是上、下底面三角形外心连线的中点.若直三棱柱的侧棱长为h，底面三角形外接圆半径为R（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为
4.正四面体的内切球、外接球的球心都是正四面体的中心，它是高的一个四等分点，若四面体的棱长为a，则其内切球半径为，外接球半径为.
5.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
6.正四面体、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对棱相等的三棱锥，这些几何体的外接球问题可以补形成长方体或正方体来解决.
7.一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球题，可补形为直三棱柱来解决问题.
8.圆锥的内切球和外接球问题可作公共的轴截面，找出两个几何体的关系解决问题.
9.多面体内切球问题可由公式
来计算内切球半径.
1.常用结论
(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．
(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．
(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．
(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到．
(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心
(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体．
(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．
3.球的有关性质
（1）球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.
（2） 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.
（4）球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
（5）球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
（6）若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
一、单选题
1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
2．圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以，解得：，
则球的体积为
故选：A
3．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（    ）
A．6π B．12π C．18π D．24π
【答案】B
【解析】正方体的八个顶点在同一个