人教考向36圆锥曲线中的定点、定值问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向36 圆锥曲线中的定点、定值问题
（2022·全国乙理T20文T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
1.求解定点问题常用的方法
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
1．已知椭圆＋y2＝1，直线l过点M(1，0)且与椭圆C相交于A，B两点．过点A作直线x＝3的垂线，垂足为D.则直线BD过x轴上的定点坐标为________．
【答案】(2，0)
【解析】(1)当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
不妨设A，B，D，
此时直线BD的方程为y＝(x－2)，所以直线BD过点(2，0)．
(2)当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB为y＝k(x－1)，D(3，y1)，
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
直线BD：y－y1＝(x－3)，只需证明直线BD过点(2，0)即可，
令y＝0，得x－3＝－，
所以x＝＝＝，
即证＝2，即证2(x2＋x1)－x1x2＝3，
可得2(x2＋x1)－x1x2＝－＝＝3，所以直线BD过点(2，0)，
综上所述，直线BD恒过x轴上的定点(2，0)．
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________．
【答案】　0
【解析】设过F的直线x＝my＋1交抛物线于P(x1，y1)，A(x2，y2)，M(－1，0)，
联立方程组得y2－4my－4＝0，
于是有
∴k1＋k2＝＋＝，
又y1x2＋y2x1＋y1＋y2＝·y1y2(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝·(－4)·4m＋4m＝0，∴k1＋k2＝0.
3.已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【答案】（1）＋y2＝1；（2）见解析
【解析】(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则＝(a,1)，＝(a，－1)．
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3.
由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)．
直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．①
由于＋y＝1，故y＝－，②
由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.③
将x＝my＋n代入＋y2＝1，