人教第4章 三角函数、解三角形 第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名改变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
2.求值：cos＝________.
答案　－
解析　cos＝－cos ＝－.
3.若cos α＝，则tan α＝________.
答案　±
解析　因为cos α＝，
所以sin α＝±＝±＝±.
故tan α＝＝±.
4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.
答案　－
解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
5.(2022·昆明诊断)若cos＝，则sin＝________.
答案　
解析　sin＝sin＝cos＝.
6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin 2α－cos2α＝________.
答案　－
解析　由2sin(π－α)＝3sin，
得2sin α＝3cos α.
所以tan α＝，从而sin2α－sin 2α－cos2α＝
＝＝－.
　考点一　诱导公式的应用
1.化简：＝________.
答案　－
解析　原式＝＝－.
2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.
答案　
解析　由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∵sin α＝，
∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝.
3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.
答案　－
解析　sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°
＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°
＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°
＝－cos 17°＋cos 17°－＝－.
感悟提升　1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
考点二　同角三角函数基本关系及其应用
角度1　切弦互化
例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A. B.－ C. D.－
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A.－ B.－