人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 第1讲　函数的图象与性质.docx

第1讲　函数的图象与性质
[考情分析]　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．
考点一　函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1　(1)(2022·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　)
A．{x|x<0或x>2} B.
C．{x|x>2} D.
答案　B
解析　要使f(x)＝lg 有意义，则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，
所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则解得≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为.
(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝
若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2，－1)∪(0，＋∞)
解析　由题意知，a≠0.
①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，
化简得a2＋3a＋2<0，
解得－2<a<－1，
又a<0，∴a∈(－2，－1)；
②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，
化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，
又a>0，∴a∈(0，＋∞)，
综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．
规律方法　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
跟踪演练1　(1)(2022·潍坊模拟)设函数f(x)＝则f(8)等于(　　)
A．10 B．9 C．7 D．6
答案　C
解析　因为f(x)＝则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.
(2)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．则下列为“M函数”的是________．(填序号)
①y＝sin xcos x；
②y＝ln x＋ex；
③y＝2x；
④y＝x2－2x.
答案　①②
解析　由题意，得“M函数”的值域关于原点对称．①中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故①是“M函数”；②中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故②是“M函数”；③中，因为y＝2x>0，故③不是“M函数”；④中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故④不是“M函数”．
考点二　函数的图象
核心提炼
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
考向1　函数图象的识别
例2　(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为(　　)
答案　A
解析　方法一　(特值法)
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0；
取x＝－1，则y＝cos(－1)
＝－cos 1<0.结合选项知选A.
方法二　令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故选A.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案　A
解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
考向2　函数图象的变换及应用
例3　(1)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是(　　)
答案　D