人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 第6讲 母题突破3　零点问题.docx

母题突破3　零点问题
母题　(2022·武汉检测)已知函数f(x)＝，g(x)＝tan x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，试判断F(x)在∪内的零点个数．
思路分析
❶求f′(x)，判断f′(x)的符号
　　　 ↓
❷等价变形F(x)＝0，构造新函数
　h(x)＝xsin x－excos x
　　　 ↓
❸分类讨论h(x)的单调性
解　(1)函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－tan x＝0，
得xsin x－excos x＝0.
设h(x)＝xsin x－excos x，
所以h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)．
①当x∈时，
可知sin x－cos x<0，xcos x＋sin x<0，所以
h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)<0，
从而h(x)＝xsin x－excos x在上单调递减，
又h(0)＝－1，h＝>0，
由零点存在定理及h(x)的单调性，
得h(x)在上有一个零点．
②当x∈时，cos x≥sin x>0，
由(1)知函数f(x)＝在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈时，
函数F(x)＝f(x)－g(x)＝－tan x单调递减，
F(x)min＝F＝－1>0，
所以h(x)在上无零点．
③当x∈时，
sin x>cos x>0，
h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)>0，
则h(x)在上单调递增．
又h＝>0，
h＝·－·＝<0，
所以h(x)在上存在一个零点．
综上，h(x)在∪上零点个数为2，
即F(x)在∪上的零点个数为2.
[子题1]　(2021·全国甲卷改编)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解　f(x)＝＝1⇔ax＝xa⇔xln a＝aln x⇔＝，
设函数g(x)＝，
则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e，
在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝，
又g(1)＝0，当x→＋∞时，g(x)→0，
∴曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即曲线y＝g(x)与直线y＝有两个交点的充要条件是0<<，即0<g(a)<g(e)，
∴a的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞)．
[子题2]　设函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R)．设函数g(x)＝ax－1，证明：当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点．
证明　因为H(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1，
所以H′(x)＝(x>－1)，
令H′(x)＝0，x1＝