人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 微重点2　函数的嵌套与旋转、对称问题.docx

微重点2　函数的嵌套与旋转、对称问题
函数的嵌套与旋转、对称问题在高考中经常出现，主要与函数的性质、函数的零点综合，考查判断函数的零点、方程的根的个数、求参数问题，以及求函数的函数值、值域等，难度较大，主要以选择、填空的形式出现．
考点一　嵌套函数中的零点问题
考向1　函数的零点个数问题
例1　已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　D
解析　令u＝f(x)，令g(x)＝0，
则f(u)－＝0，
当u≥0时，则f(u)＝ln(u＋1)，
所以ln(u＋1)＝，
所以u＝－1.
当u<0时，f(u)＝－ueu，
则f′(u)＝－(u＋1)eu，
当u<－1时，f′(u)>0；
当－1<u<0时，f′(u)<0.
此时，函数y＝f(u)在u＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝<.
所以当u<0时，f(u)<，
则方程f(u)－＝0在u<0时无解．
再考虑方程f(x)＝－1的根的个数，
作出函数u＝f(x)与u＝－1的图象如图所示，
由于－1>>，
所以直线u＝－1与函数u＝f(x)的图象只有一个交点，因此，函数g(x)只有一个零点．
考向2　求参数的取值范围
例2　(2022·安康质检)已知函数f(x)＝若函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设t＝f(x)，则y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
则函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点等价于g(t)＝0在[－3,1)上有两个不同的实数根，
则
解得2<m≤.
规律方法　解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解．
跟踪演练1　(1)(2022·天津质检)已知定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足：∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
答案　A
解析　因为定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，
则存在唯一正实数t使得f(t)＝1，
且f(x)－ln x＝t，即f(x)＝t＋ln x，
于是得f(t)＝t＋ln t＝1，
而函数y＝t＋ln t在(0，＋∞)上单调递增，
且当t＝1时，t＋ln t＝1，
因此t＝1，f(x)＝1＋ln x，
方程f(x)＝－x2＋4x－2＝1＋ln x，
即ln x＝－x2＋4x－3，
于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点个数，
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象，如图所示，
观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，
所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3.
(2)(2022·江西重点中学联考)函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同