人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 培优点6　向量极化恒等式.docx

培优点6　向量极化恒等式
平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．
考点一　向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝2－2.
变式：(1)a·b＝－，a·b＝－.
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2＝2－2.
考向1　利用向量极化恒等式求值
例1　(1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·＝________.
答案　27
解析　BD＝＝12，
∴AO＝6，OE＝3，
∴由极化恒等式知·＝2－2＝36－9＝27.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． ·＝4，·＝－1，则·的值为________．
答案　
解析　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，
得·＝2－2＝9n2－m2＝4，①
·＝2－2＝n2－m2＝－1.②
联立①②，解得n2＝，m2＝.
因此·＝2－2＝4n2－m2＝.
即·＝.
考向2　利用向量极化恒等式求最值、范围
例2　(1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是________．
答案　－
解析　如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，
所以(＋)·
＝2·，
由极化恒等式得
·＝2－2＝2－，
因此当P为OC的中点，即||＝0时，
(＋)·取得最小值－.
(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．
答案　－
解析　由向量极化恒等式知
a·b＝
＝
≥＝－，
当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，
即|a|＝，|b|＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值．
规律方法　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
跟踪演练1　(1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
答案　　
解析　依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，
由·＝||·||·cos∠BAD
＝－||＝－，得||＝1，
因此λ＝＝.
取MN的中点E，连接DE(图略)，
则＋＝2，
·＝[(＋)2－(－)2]
＝2－2＝2－.
当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，
即AB·sin B＝，
因此2－的最小值为2－＝，
即·的最小值为.
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， ·的取值范围是________．
答案　[0,2]
解析　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，
则·＝2－2＝2－1.
由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，
所以·∈[0,2]．
考点二　等和(高)线解基底系数和(差)问题
等和(高)线
平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
例3　(1) 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　A
解析　方法一　设＝t(0≤t≤1)，
则＝＝(＋)
＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋，
所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝ .
方法二　如图，过N作BC的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝.
由图易知，＝.
(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　)
A. B.
C．