人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题5 第2讲　随机变量及其分布.docx

第2讲　随机变量及其分布
[考情分析]　离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
考点一　分布列的性质及应用
核心提炼
离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
例1　(1)(2022·保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog2(1≤k≤7，k∈Z)，则P(2<X≤5)等于(　　)
A. B.
C. D.log2
答案　C
解析　因为P(X＝k)＝alog2
＝a[log2(k＋1)－log2k]，
P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝7)＝1，
所以a·(log22－log21＋log23－log22＋…＋log28－log27)＝1，
解得a＝，所以
P(2<X≤5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝log2＋log2＋log2＝.
(2)(2022·烟台模拟)已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足E(ξ)＝0，则下列方差值中最大的是(　　)
ξ
－1
0
2
P
a
b
A.D(ξ) B．D(|ξ|)
C．D(2ξ＋1) D．D(3|ξ|－2)
答案　D
解析　依题意
解得
所以ξ的分布列为
ξ
－1
0
2
P
则D(ξ)＝×(－1－0)2＋×(0－0)2＋×(2－0)2＝1，
则D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝4；
|ξ|的分布列为
|ξ|
1
0
2
P
则E(|ξ|)＝1×＋2×＝，
D(|ξ|)＝×2＋×2＋×2＝，
所以D(3|ξ|－2)＝32D(|ξ|)＝5，
所以D(3|ξ|－2)的值最大．
规律方法　分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
跟踪演练1　(1)(2022·广州调研)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．
表1　股票甲收益的分布列
收益X/元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
表2　股票乙收益的分布列
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
则下列结论中正确的是(　　)
①投资股票甲的期望收益较小；
②投资股票乙的期望收益较小；
③投资股票甲比投资股票乙的风险高；
④投资股票乙比投资股票甲的风险高．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案　C
解析　由题意知，
E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，
E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，
方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，
所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．
(2)(2022·河南三市联考)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则(　　)
A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
D．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
答案　D
解析　由题意得X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝，
又X＋Y＝3，∴Y＝3－X，
∴E(Y)＝3－E(X)＝3－＝，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝D(X)，故选D.
考点二　随机变量的分布列
核心提炼
1．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(