人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 第4讲 母题突破1　范围、最值问题.docx

第4讲　圆锥曲线的综合问题
[考情分析]　1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
母题突破1　范围、最值问题
母题　(2022·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点D(2,0)，过F的直线交抛物线C于M，N两点．设直线MD，ND与抛物线C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
思路分析
❶点差法求kAB，kMN
　　　↓
❷联立MN与抛物线方程
　　　↓
❸联立AM，BN与抛物线方程
　　　↓
❹kAB与kMN的关系
　　　↓
❺构造tan(α－β)关于kAB的函数
解　当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，
N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则直线MN的方程为
y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－x1)，
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，
所以直线MN的方程为
y(y1＋y2)－y1y2＝4x，tan α＝.
同理可得，直线AM的方程为
y(y3＋y1)－y3y1＝4x，
直线BN的方程为
y(y4＋y2)－y4y2＝4x，
直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.
因为F(1,0)在MN上，所以y1y2＝－4.
因为D(2,0)在AM，BN上，
所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，
所以y3＝－，y4＝－.
所以y3＋y4＝－－＝－
＝－＝2(y1＋y2)，
y3y4＝＝＝－16，
所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，
所以tan β＝，
所以tan(α－β)＝
＝＝2×.
当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，
所以不符合题意．
当y2＋y1>0时，(y2＋y1)＋≥4，
tan(α－β)≤2×＝，
当且仅当y2＋y1＝，
即y2＋y1＝2时取等号，
此时α－β取得最大值，直线AB的方程为x－y－4＝0.
综上，当α－β取得最大值时，直线AB的方程为x－y－4＝0.
[子题1]　(2022·许昌模拟)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0，－1)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，求的取值范围．
解　显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为
y＝kx－1，D(x1，y1)，E(x2，y2)，
联立
得(2－k2)x2＋2kx－3＝0，
因为l与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，
故
解得－<k<，
此时有x1＋x2＝.
|DE|＝·|x1－x2|
＝·
＝·，
由
解得x＝，设xG＝，
同理可得xH＝，
所以|GH|＝·
＝.
故＝.
因为－<k<，故≤<1，
故的取值范围是.
[子题2]　(2022·益阳模拟)过点A(1,0)的直线与椭圆＋＝1交于H，G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG的面积的最大值．
解　如图所示，易知直线HG的斜率不为0，