人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题7 第2讲　不等式选讲.docx

第2讲　不等式选讲
[考情分析]　本部分主要考查绝对值不等式的解法、含绝对值的函数的最值，以及绝对值不等式恒成立问题和证明等，难度中等．
考点一　含有绝对值的不等式的解法
核心提炼
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
例1　(2022·包头模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋3|x＋1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)>f(x－1)的解集．
解　(1)当x≥1时，f(x)＝x－1＋3(x＋1)＝4x＋2，
当－1<x<1时，f(x)＝(1－x)＋3(x＋1)＝2x＋4，
当x≤－1时，f(x)＝(1－x)－3(x＋1)
＝－4x－2，
即f(x)＝
如图，画出函数的图象，
(2)将y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度就得到函数y＝f(x－1)的图象，如图，画出两个函数在同一坐标系下的图象，
y＝－4x－2向右平移一个单位长度得到函数y＝－4(x－1)－2＝－4x＋2，
联立解得x＝－，y＝，
如图，当x>－时，f(x)>f(x－1)，
所以不等式f(x)>f(x－1)的解集是.
规律方法　含绝对值不等式的解法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；
②划区间、去绝对值符号；
③分别解去掉绝对值的不等式；
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练1　(2022·临川模拟)已知f(x)＝|x－1|－a|x＋1|.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≤1；
(2)若不等式f(x)≤1无解，求实数a的取值范围．
解　(1)∵a＝1，∴解不等式f(x)≤1就是解不等式|x－1|－|x＋1|≤1.
当x<－1时，原不等式可化为1－x＋x＋1≤1，
∴x∈∅.
当－1≤x≤1时，原不等式可化为1－x－x－1≤1，∴－≤x≤1.
当x>1时，原不等式可化为x－1－x－1≤1，
∴x>1.
∴原不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝|x－1|－a|x＋1|，
∴f(x)＝
当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝2>1，
∴原不等式无解成立．
当－1<a<1时，f(x)min＝f(1)＝－2a，要使原不等式无解，则－2a>1，
即a<－，
∴－1<a<－.
当a≥1时，f(0)＝1－a≤0，
∴原不等式一定有解．
综上，实数a的取值范围是.
考点二　含绝对值不等式的恒成立(有解)问题
核心提炼
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
例2　已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋g(x)<6的解集；
(2)若对任意实数x1，x2，