人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 微重点3　导数中的函数构造问题.docx

微重点3　导数中的函数构造问题
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
考点一　导数型构造函数
考向1　利用f(x)与x构造
例1　(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
答案　B
解析　因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)，
则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，
所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减，
又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，
所以g(x)在R上单调递减，
则a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g，
因为20.6>1,0<ln 2<1，log2＝－3<0，
所以log2<0<ln 2<1<20.6，
所以c>b>a.
规律方法　(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
跟踪演练1　(2022·深圳检测)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex≥0的解集是_________________________________________．
答案　(－∞，ln 2]
解析　令g(x)＝，则g′(x)＝，
因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，
所以g′(x)＝<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
又f(2)＝2，所以g(2)＝＝1，
由f(ex)－ex≥0得≥1，
所以g(ex)≥1＝g(2)，
故ex≤2，则x≤ln 2，所以f(ex)－ex≥0的解集是(－∞，ln 2]．
考向2　利用f(x)与ex构造
例2　(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则(　　)
A．f(2 022)<ef(2 023)
B．ef(2 022)<f(2 023)
C．ef(2 022)＝f(2 023)
D．ef(2 022)>f(2 023)
答案　B
解析　设函数g(x)＝，
可得g′(x)＝，
由f(x)<f′(x)，可得f′(x)－f(x)>0，
所以g′(x)>0，所以g(x)单调递增，
则<，
即ef(2 022)<f(2 023)．
规律方法　(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
跟踪演练2　(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．
答案　(3，＋∞)
解析　设F(x)＝f(x)·ex，
则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex
＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)在R上单调递增．
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．
考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造
例3　偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，若对任意的x∈，有
f′(x)·cos x<f(x)sin x成立，则关于x的不等式2f(x)<的解集为________．
答案　∪
解析　令g(x)＝f(x)cos x，x∈，
∴g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝f(x)cos x＝g(x)，
∴g(x)为偶函数，
又g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x，
∴当x∈时，g′(x)<0，
即g(x)在上单调递减．又g(x)为偶函数，
∴g(x)在上单调递增，
不等式2f(x)<可化为f(x)cos x<f cos ，
即g(x)<g，
则解得－<x<－或<x<.
故不等式2f(x)<的解集为∪.
规律方法　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式