人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题6 第4讲 母题突破2　定点问题.docx

母题突破2　定点问题
母题　(2022·烟台模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，点A(－2,0)，直线l：y＝kx＋m与C交于P，Q 两点，且AP⊥AQ，证明：直线l过定点，并求出此定点的坐标．
思路分析
❶联立直线l与椭圆C方程
　　　↓
❷求·
　　　↓
❸利用根与系数的关系化简·＝0，找到M与k的关系
　　　↓
❹利用直线的点斜式方程求定点
解　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
消去y可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
则有Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，
即4k2－m2＋1>0，
x1＋x2＝，
x1x2＝，
因为AP⊥AQ，所以·＝0，
而＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，
故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2＋km＋m2
＝，
故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝－＋4＋
＝＝0，
解得m＝2k或m＝k，
当m＝2k时，代入4k2－m2＋1＝1>0，故直线l方程为y＝k(x＋2)，过点A，不满足题意，
当m＝k时，
代入4k2－m2＋1＝4k2－k2＋1＝k2＋1>0，
故直线l方程为y＝k，
过定点.
[子题1]　已知双曲线C：x2－＝1(x>0)，过右焦点F2的直线l1与双曲线C交于A，B两点，设直线l：x＝，设点D(－1,0)，直线AD交l于M，求证：直线BM经过定点．
证明　由对称性可知，直线BM必过x轴上的定点，
当直线l1的斜率不存在时，A(2,3)，B(2，－3)，M，则直线BM经过点P(1,0)．
当直线l1的斜率存在时，不妨设直线l1：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线AD的方程为y＝(x＋1)，当x＝时，yM＝，M，
联立得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
证明直线BM经过点P(1,0)，即证kPM＝kPB，即＝，
即－3y1x2＋3y1＝x1y2＋y2，
由y1＝kx1－2k，y2＝kx2－2k，
整理得，4x1x2－ 5(x1＋x2)＋4＝0，
即4·－5·＋＝0，
得证，所以直线BM过定点(1,0)．
[子题2]　已知椭圆C：＋＝1，过点(1,0)的两条弦PQ，MN相互垂直，若＝2，＝2，求证：直线ST过定点．
证明　因为＝2，＝2，
所以S，T分别是PQ，MN的中点，
当两条弦所在直线的斜率存在且不为0时，
设PQ所在直线的方程为y＝k(x－1)，
则MN所在直线的方程为y＝－(x－1)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
联立
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
因为Δ>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以PQ的中点S的坐标为.
同理可得，MN的中点T的坐标为，
当≠，
即k2≠1时，kST＝，
所以直线ST的方程为
y＋＝·，
即y＝，
所以直线ST过定点.
当k2＝1时，直线ST的方程为x＝，
亦过定点.
当两条直线的斜率分别为0和不存在时，直线ST的方程为y＝0，也过点.