人教版微专题 导数法研究函数的单调性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：导数法研究函数的单调性
【考点梳理】
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝ f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝ f(x)在区间(a，b)上单调递减.
2. 利用导数判断函数f(x)单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
3. 函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
4. 在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.
【题型归纳】
题型一：用导数判断或证明已知函数的单调性
1．已知，且满足，，，则（       ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
3．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
题型二：利用导数求函数的单调区间（不含参）
4．函数的递增区间是（       ）
A． B．和
C． D．
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5．函数的单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
6．函数的递增区间是（       ）
A． B． C． D．
题型三：含参分类讨论求函数的单调区间
7．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
8．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：在上，.
9．已知函数（a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．
【双基达标】
10．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
11．已知函数，讨论的单调性．
12．已知函数，的最大值为.
（1）求实数b的值；
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（2）当时，讨论函数的单调性；
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
14．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间．
15．已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
16．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
17．设函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任何恒成立，求的取值范围．
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求函数的极值.
19．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：对任意的，恒成立.
20．已知函数（a为常数）在处的切线方程为.
（1）求a的值，并讨论的单调性；
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（2）若，求证.
【高分突破】
21．已知函数．
(1)当时，讨论函数在区间上的单调性；
(2)当时，证明：．
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
23．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
24．设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数