人教版专题13 空间向量与立体几何（解析版）.docx

专题13 空间向量与立体几何
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
【考点2】空间向量的线性运算
(1)、向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)、空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【考点3】共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
【考点4】向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有
＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【考点5】空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
【考点6】利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
【考点7】空间向量的长度
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【考点8】空间向量的基本定理及样本概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
【考点9】空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
【考点10】用空间向量基本定理解决几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与