人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第2节　函数的单调性与最值.docx

第2节　函数的单调性与最值
考试要求　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间为[－，0)，(0，].
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　)
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).
2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A.y＝－x B.y＝x2－x
C.y＝ln x－x D.y＝ex
答案　A
解析　易知A中y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；
B，C中函数y＝x2－x与y＝ln x－x在(0，＋∞)内不单调；
D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数.
3.(易错题)(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
答案　D
解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8的单调递增区间.
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).
4.(2020·新高考海南卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.(－∞，2]
C.[2，＋∞) D.[5，＋∞)
答案　D
解析　由x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.
令t＝x2－4x－5，则函数t＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递增，函数y＝lg t为增函数，故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则有(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，即a≥5.
5.函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________.
答案　2
解析　函数y＝＝1＋在[2，3]上递减，当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
6.(易错题)函数f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，若f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________.
答案　[－1，1)
解析　由题意，得
∴－1≤a<1.
　　考点一　确定函数的单调性
角度1　求函数的单调区间
例1 (1)函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C.(－2，3) D.
(2)