人教考向06函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向06 函数的奇偶性与周期性、对称性
1. （2022年北京卷第4题）己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A错误，C正确；
，不常数，故BD错误；
故选：C．
2. （2022年 新高考2卷第8题）若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
3．（2022年甲卷理第5题）函数在区间的图像大致为
【答案】A
【解析】设，，所以为奇函数，排除BD，令，则，排除C，故选A.
4．（2022年乙卷第12题）已知函数，的定义域均为,且，.
若的图像关于直线对称，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若的图像关于直线对称，则，因为，所以，故，为偶函数.由，，得.由，得，代入，得，关于点中心对称，所以.由，，得，所以，故，周期为.由，得，又，所以
.
1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．
2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．　
3.函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　

1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
【易错点1】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
【易错点2】函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
【易错点3】不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
1．函数f(x)＝x＋(x≠0)是(　　)
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
【答案】B
【解析】因为f(－x)＝－x＋＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋为奇函数．
又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是减函数．
2.已知函数f(x)＝cos＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【解析】设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，
则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，所以g(－a)＝－g(a)＝－，
即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.
3．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x) C．y＝x2＋f(