人教考向24不等式选讲（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向24 不等式选讲
1.（2022年甲卷）23. 已知a，b，c均正数，且，证明：
（1）；
（2）若，则．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明：由柯西不等式有，
所以，
当且仅当时，取等号，所以；
【小问2详解】
证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，所以
2.（2022年乙卷）23. 已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）；
（2）；
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】【小问1详解】
证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
【小问2详解】
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等
3.【2021年乙卷】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
4.【2021年甲卷】 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
1.解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.
2.使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。
3.使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。
1、不等式的基本性质：
（1）
（2）（不等式的传递性）
注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立
（3）
（4）
（5）
（6）
2、绝对值不等式：
（1）等号成立条件当且仅当
（2）等号成立条件当且仅当
（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当
3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数：
① 调和平均数：
② 几何平均数：
③ 代数平均数：
④ 平方平均数：
（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：
（3）三项均值不等式：
①
②
③
4、柯西不等式：
等号成立条件当且仅当或
（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当
（2）柯西不等式的几个常用变形
① 柯西不等式的三角公式：

②
②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
③
5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：
即“反序和乱序和顺序和”
1.绝对值不等式
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
2.柯西不等式
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时
，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
1.若存在实数使得成立，求实数的取值范围。
【解析】依题意可知二次方程有解
即
当时，
当时，恒成立
当时，
综上所述，可得
2已知函数
（1）当时