人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题3 微重点9　子数列问题.docx

微重点9　子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
考点一　奇数项、偶数项
例1　(2022·淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝n∈N*.设bn＝a2n－1.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前2n项和．
(1)证明　由题意可知b1＝a1＝1，
bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)
＝2a2n－1＋2＝2bn＋2，
故bn＋1＋2＝2(bn＋2)，
即＝2，
故{bn＋2}是以b1＋2＝3为首项，以q＝2 为公比的等比数列，
所以bn＋2＝3×2n－1，n∈N*，
故bn＝3×2n－1－2，n∈N*.
(2)解　由(1)知，bn＝3×2n－1－2，n∈N*，
即a2n－1＝3×2n－1－2，n∈N*，
由题意知an＋1＝k∈N*，
故a2n＝a2n－1＋1，n∈N*，
故数列{an}的前2n项和 S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)
＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n
＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n－1)－2n]＋n
＝6×－3n＝6(2n－1)－3n .
规律方法　(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把
a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
跟踪演练1　(2022·山东学期联考)已知数列{an}满足an－1－an＝an－an＋1(n≥2)，且a1＝1，a7＝13；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)由已知可得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
则数列{an}为等差数列，设其公差为d，
由a7＝a1＋6d＝13，解得d＝2，
∴an＝2n－1，
在数列{bn}中，当n＝1时，b1＝S1＝1，
当n≥2时，
bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1，
当n＝1时，满足上式，∴bn＝3n－1.
(2)因为cn＝
则当n为偶数时，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝1＋5＋…＋2n－3＋3＋…＋3n－1
＝＋
＝＋，
当n为奇数时，
Tn＝Tn－1＋cn＝＋(n>2)，
当n＝1时，上式也成立，
综上，Tn＝
考点二　两数列的公共项
例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}的前n项之积Tn＝(n∈N*)．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值．
解　(1)由Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n